E agora, para um pouco de matemática...

De quantas maneiras diferentes -- e sem repetição -- é possível somar números inteiros positivos para produzir o número 4? São cinco:

4
3+1
2+2
2+1+1
1+1+1+1

Por causa disso, os matemáticos dizem que o número 4 tem cinco partições ou, resumindo, p(4) = 5.

Se você se lembra o suficiente das aulas de matemática do ensino médio, a notação ao final do parágrafo acima deve lhe parecer familiar: é o tipo de simbolismo usado para definir  exprimir uma função.

No caso, a função p(x) dá o total de partições do número "x". Funções são máquinas que associam um número a outro, sempre de acordo com uma regra preestabelecida. Por exemplo, podemos definir a função "idade", ou i(x), como sendo a que informa qual será a idade de uma pessoa nascida no ano "x" em 31 de dezembro de 2011. Assim, i(1971) = 40.

(Para cair na definição mais precisa de função, diz-se que ela associa os elementos de um conjunto -- o domínio -- aos elementos de outro conjunto -- o contradomínio -- de forma que todo integrante do domínio   tenha um único correspondente no contradomínio).

Além do óbvio interesse lógico-matemático, funções têm uma infinidade de aplicações nas ciências e na vida prática. A esmagadora maioria dos gráficos usados para representar uma associação entre duas famílias de dados -- datas e taxas de inflação, tempo de serviço e salário, voos previstos e voos cancelados, total de chuvas e de inundações -- pode ser interpretada como funções.

Quando lançadas num gráfico, algumas funções produzem curvas harmoniosas, como a clássica f(x) = x², ou as funções trigonométricas seno e cosseno (o seno você vê abaixo).




Outras são bem malucas, e p(x) pertence a esse grupo. É contraintuitivo, mas p(x) escapa rapidamente de controle. Enquanto p(4) = 5, p(8) = 22, p(10) = 42, p(100) = 190.569.292 e p(1000) = 24.061.467.864.032.622.473.692.149.727.991. 


Fórmulas para calcular p(x) existem desde o século XVIII, só que no geral são longas e trabalhosas. Mas há uma semana (desculpem a demora, gente) um grupo de matemáticos dos EUA e Alemanha anunciou ter descoberto uma nova fórmula, relativamente simples, para determinar o número de partições de um número inteiro. 


A equipe, trabalhando com o matemático Ken Ono, também provou que as partições dos números primos -- que são divisíveis apenas por 1 e por si mesmos -- têm propriedades que são periódicas, repetindo-se a intervalos previsíveis. Meu palpite é de que essa descoberta pode acabar sendo importante na caçada aos números primos, que por sua vez é importante para a segurança das transações na internet. 


Para quem entende de matemática muito mais do que eu, os artigos de Ono e colegas estão aqui.


(E para os espíritos pobres que estão se perguntando para que serve essa função p(x), afinal, imagine que ela representa o número de maneiras diferentes em que uma quantidade "x" de blocos pode ser empilhada, como no diagrama abaixo, que representa p(x) de 1 a 8, cortesia da Wikipedia:)



Comentários

  1. Muito interessante!

    Conseguiu prender minha atenção em um tema que sempre me deu sono...matemática (embora no ensino Médio sempre tenha adorado quando uma conta chegava ao resultado correto hauahuahuahau)

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  2. Olá, Carlos Orsi,

    Gostei do fato de você novamente estar escrevendo com intuito de divulgar a matemática para o público geral, mas eu gostaria de fazer algumas críticas.

    O comentário sobre "p(4) = 5" está muito confuso. Dizer que essa é a maneira de definir uma função não faz muito sentido, pois ali você está apenas afirmando que a função p, quando calculada 4, vale 5.

    Mas isso ainda está longa da definição da função p e pode confundir o leitor. Minha sugestão seria dizer que o raciocínio do começo do texto mostra como definir a função p para o número 4 e que o mesmo processo poderia ser usado para definir a função em qualquer outro número natural.


    Você esqueceu de citar a mais importante propriedade da definição precisa de função: é importante deixar claro que para cada elemento do domínio existe um único elemento do contra domínio.

    Falar que funções são máquinas que associam um número ao outro é duplamente errado. Primeiro por que, de acordo com a definição formal, uma função é uma relação especial entre quaisquer dois conjuntos. Não há restrição a quais conjuntos tipos de conjuntos. Segundo por que, chamar uma função f de máquina dá a impressão errada de que sempre existe um processo que leva o elemento x a f(x), o que não é verdadeiro para a maioria das funções. E maioria aqui tem um significado matemático bem definido!

    E, claro, o exemplo das caixinhas é engraçado e poderia ter sido colocado lá no começo do texto, junto do exemplo do número 4. Isso serviria para mostrar que mesmo conceitos que estão agora sendo usados em pesquisa matemática ainda podem ter interpretações simples e compreensíveis para o público geral.

    Ainda sobre a importância das funções, você poderia citar que toda a computação pode ser construída usando apenas o conceito de funções!

    Um link para a página da Wikipédia, sobre funções, também poderia ser útil.

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  3. oi, Jahnke! Obrigado pelo comentário. A sugestão sobre computação é realmente boa, e eu deveria tê-la incluído no texto. Nos parágrafos iniciais, realmente valeria a pena usar outro verbo no lugar de "definir", para me referir à notação p(4)=5. Vou mexer nisso daqui a pouco.

    Quanto à definição correta de função, eu chego a mencioná-la entre parênteses -- "Para cair na definição mais precisa de função, diz-se que ela associa os elementos de um conjunto -- o domínio -- aos elementos de outro conjunto -- o contradomínio -- de forma que todo integrante do domínio tenha um correspondente no contradomínio".

    Já o link para a Wikipedia está ali,no pé do texto!

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  4. Ainda sendo chato: o problema da sua definição é a omissão da palavra "único". Isso é muito importante, pois existem várias maneiras de associar elementos de dois conjuntos. Para ser uma relação funcional, a frase teria que ser assim:

    "Para cair na definição mais precisa de função, diz-se que ela associa os elementos de um conjunto -- o domínio -- aos elementos de outro conjunto -- o contradomínio -- de forma que todo integrante do domínio tenha um único correspondente no contradomínio".

    Pode parecer chatice, mas essa precisão é necessária para evitar ambiguidade. E de quebra você acaba acostumando seus leitores com a maneira com que matemáticos costumam enunciar problemas, definições e argumentos.

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  5. Verdade, o "único" tornaria as coisas mais claras. Mexendo lá...

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